Question

（2011•江西模拟）如图，△ABC为一个等腰三角形的空地，底边AB长为4（百米），腰长为3（百米），现决定在空地上修一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形周长相等，面积分别为S₁和S₂，
（1）若小路一端E为AC中点，求小路的长度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）小路一端E为AC中点，则F在BC，利用四边形和三角形周长相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的长度；
（2）若E、F在两腰上，设CE=x，CF=y，表示出

S1

S2

的表达式，通过基本不等式求出最小值．
若点E、F在一腰和底上，设E在CA上，F在AB上，设AE=x，AF=y，表示出

S1

S2

的表达式，通过基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）易知F在BC上，则AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E为AC中点，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化为BF=

1

2

，即CF=

7

2

，cosC=

1 2 BC

AC

=

2

3

，
根据余弦定理，EF²=CF²+CE²-2CF•CEcosC=(

7

2

)2+(

3

2

)2-2×

7

2

×

3

2

×

2

3

=

30

4

，
∴EF=

30

2

（2）若E、F在两腰上，设CE=x，CF=y，
∴x+y=5，

S1

S2

=

S△CAB-S2

S2

=

1 2 CA•CB•sinC

1 2 x•y•sinC

-1=

9

xy

-1≥

9

( x+y 2 )2

-1=

11

25

当且仅当x=y=

5

2

时取“=”号
若点E、F在一腰和底上，设E在CA上，F在AB上，设AE=x，AF=y，
∴x+y=5，

S1

S2

=

S△CAB-S2

S2

=

1 2 AC•AB•sinA

1 2 x•y•sinA

-1=

12

xy

-1≥

12

( x+y 2 )2

-1=

23

25

当且仅当x=y=

5

2

时取“=”号
所以最小值为

11

25

．

点评：本题是中档题，考查三角形的解法，余弦定理、基本不等式的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．