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已知g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex
(1)求g(x),h(x)的解析式;
(2)解不等式h(x2+2x)+h(x-4)>0;
(3)若对任意x∈[ln2,ln3]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)方程法:把方程中的x换成-x,然后利用奇偶性可得另一方程,联立可解得g(x)、h(x);
(2)易判断h(x)为R上的增函数且为奇函数,由此可去掉不等式中的符号“f”,转化为二次不等式,解出即可;
(3)分离出不等式中的参数a,然后利用不等式求出函数的最值即可;
解答:解:(1)由
g(-x)+h(-x)=e-x
g(x)+h(x)=ex
,得
g(x)-h(x)=e-x
g(x)+h(x)=ex

解得g(x)=
ex+e-x
2
,h(x)=
ex-e-x
2

(2)因为h(x)在R上时单调递增的奇函数,
所以h(x2+2x)+h(x-4)>0?h(x2+2x)>h(4-x),
所以x2+3x-4>0,解得x>1或x<-4,
所以不等式的解集为:{x|x>1或x<-4}.
(3)g(2x)-ah(x)≥0,即得
e2x+e-2x
2
-a•
ex-e-x
2
≥0
,参数分离得
a≤
e2x+e-2x
ex-e-x
=
(ex-e-x)2+2
ex-e-x
=ex-e-x+
2
ex-e-x

令t=ex-e-x,则ex-e-x+
2
ex-e-x
=t+
2
t
=F(t),
于是F(t)=t+
2
t
,t∈[
3
2
8
3
],
因为F(t)min=F(
3
2
)=
17
6

所以a
17
6
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,考查函数恒成立问题,考查学生解决问题的能力.
练习册系列答案
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(1)求函数g(x),并证明函数h(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
(2)解h(x)>1.

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已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2log2(1-x)
(1)求f(x)及g(x)的解析式,并指出其单调性(无需证明).
(2)求使f(x)<0的x取值范围.
(3)设h-1(x)是h(x)=log2x的反函数,若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x
成立,求m的取值范围.

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