Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）．给出以下命题：
①当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）；              
②函数f（x）有五个零点；
③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）≤m≤f（2）；
④对?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假；
①当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）；              
②作出函数f（x）的图象，由图可判断②的正误；
③由②的分析可知，若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是-1＜m＜1，可判断③的正误；
④由③知，函数-1＜f（x）＜1，故有?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，可判断④．

解答： 解：①因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1），
设x＜0，则-x＞0，所以-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），故①正确；
②对x＜0时的解析式求导数可得，f′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且f（-2）=-e^-2＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：

由图象可知：函数f（x）有3个零点，故 ②错误；
③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是-1＜m＜1，故③错误；
④由于函数-1＜f（x）＜1，故有?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即④正确．
故正确的命题为①④．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查奇函数的性质，由图象解析式作出函数的图象是解决问题的关键，考查分析思维能力，属难题．