Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试卷分析：（Ⅰ）根据离心率为，短轴右端点为A的坐标即可求出a,b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线与轴不垂直时，当轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线与直线关于轴对称，即在轴上存在定点，使得直线与直线关于轴对称.

试卷解析：

（Ⅰ）由题意得，

，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）假设存在点满足题设条件.

当直线与轴不垂直时，设的方程为，

代入椭圆方程化简得： ，

设，，则，，

所以

，

因为 ，

所以当时，，直线与直线关于轴对称，

当轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线与直线关于轴对称，

综上可得，在轴上存在定点，使得直线与直线关于轴对称.