Question

在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=

6

，PB=

2

，PC=2，AB=

6

3

，求平面PAB与平面平PBC夹角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明CD⊥平面PAD，再证明平面PAD⊥平面PDC；
（2）求出△PAB、△PBC的面积，即可求平面PAB与平面平PBC夹角的大小．

解答： （1）证明：∵侧面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC；
（2）△PAB中，PA⊥AB，PB=

2

，AB=

6

3

，∴PA=

2 3

3

，∴S_△PAB=

1

2

×

6

3

×

2 3

3

=

2

3

，
△PBC中，BC=

6

，PB=

2

，PC=2，∴BP⊥PC，∴S_△PBC=

1

2

×2×

2

=

2

，
∴平面PAB与平面平PBC夹角的余弦为

1

3

，
∴平面PAB与平面平PBC夹角为arccos

1

3

．

点评：本题考查线面垂直、平面与平面垂直，考查平面与平面的夹角，考查学生的计算能力，属于中档题．