Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，平面B₁ED交A₁D₁于F
（1）指出F在A₁D₁上的位置，并证明．
（2）求直线A₁C与B₁F所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出

B1F

与

ED

，再根据向量平行建立等量关系，从而求出点F的位置；
（2）先分别求出直线A₁C与B₁F的向量坐标，求出向量

A1C

与

B1F

的夹角余弦值，再根据异面直线所成角的范围求出直线A₁C与B₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：（1）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，面B₁EDF∩面A₁B₁C₁D₁=B₁F，
面B₁EDF∩面ABCD=DE
∴B₁F∥DE
又∵D（0，1，0），E（1，

1

2

，0），B₁（1，0，1）
设F（0，y，1），则

B1F

=（-1，y，0），

ED

=（-1，

1

2

，0）
∴(-1)•

1

2

-y•(-1)=0即y=

1

2

∴|

A1F

| =

1

2

=

1

2

|

A1D1

|
∴F为A₁D₁的中点
（2）A₁（0，0，1），C（1，1，0），则

A1C

=（1，1，-1），cos＜

A1C

， 

B1F

＞=-

15

5

∴A₁C与B₁F所成角的余弦值为

15

15

（12分）

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．