Question

设函数f（x）=

a

•（

b

+

c

），其中向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样变化得出？
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换可得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

），再利用余弦函数的减区间求得f（x）的减区间．
（2）由f（x）的解析式利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．
（3）由x∈[

π

8

，

π

2

]求得cos（2x+

π

4

）∈[-1，0]；再由不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，求得

2

2

m-

2

-1＜cos（2x+

π

4

）＜

2

2

m+

2

-1．结合题意可得 

2 2 m- 2 -1＜-1 2 2 m+ 2 -1＞0

，由此求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得函数f（x）=

a

•（

b

+

c

）=（sinx，-cosx）•（sinx-cosx，sinx-3cosx）
=sinx（sinx-cosx）-cosx（sinx-3cosx）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=1+2cos²x-2sinxcosx
=2+cos2x-sin2x=2+

2

cos（2x+

π

4

），
令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，可得f（x）的减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
（2）把函数y=sinx的图象向左平移

π

4

个单位，可得y=sin（x+

π

4

）的图象；
再把所得图象的横坐标变为原来的

1

2

倍，可得y=sin（2x+

π

4

）的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的

2

倍，可得y=

2

sin（2x+

π

4

）的图象；
再把所得图象向上平移2个单位，可得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

）的图象．
（3）由x∈[

π

8

，

π

2

]可得2x+

π

4

∈[

π

2

，

5π

4

]，cos（2x+

π

4

）∈[-1，0]．
由不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

8

，

π

2

]上恒成立，可得|2+

2

cos（2x+

π

4

）-m|＜2，
即

2

2

m-

2

-1＜cos（2x+

π

4

）＜

2

2

m+

2

-1．
∴

2 2 m- 2 -1＜-1 2 2 m+ 2 -1＞0

，求得

2

-2＜m＜2，即实数m的取值范围为（

2

-2，2）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的减区间，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．