Question

10．设函数f（x）=lg（x²-x-2）的定义域为集合A，函数$g（x）=\sqrt{\frac{3}{x}-1}$的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数成立的条件求出函数的定义域，利用充分条件和必要条件的定义建立集合关系进行求解即可．

解答 解：由x²-x-2＞0得x＞2或x＜-1，即函数的定义域A=（-∞，-1）∪（2，+∞），
由$\frac{3}{x}$-1≥0，得$\frac{3}{x}$≥1，
得0＜x≤3，即B（0，3]，则A∩B=（2，3]，
由2x+p≤0得x≤-$\frac{p}{2}$，设C=（-∞，-$\frac{p}{2}$]，
若α是β的充分条件，则A∩B⊆C，
即3≤-$\frac{p}{2}$，得p≤-6，
即实数p的取值范围是（-∞，-6]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据函数成立的条件求出两个函数的定义域是解决本题的关键．