Question

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD.

（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长.

Answer 1

分10分）
解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线…………4分
（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC
∴ ∴BC²=BD•BE
∵tan∠CED=,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴…………8分
设BD=x,则BC=2x
又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)
解得：x₁=0,x₂="2," ∵BD=x>0, ∴BD=2
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5…………10分

略