Question

如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角为120°，D是BC边上一点，且BD=1．把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，连接BC形成三棱锥C-ABD．
（Ⅰ） ①求证：AC⊥平面ABD；②求三棱锥C-ABD的体积；
（Ⅱ） 求AC与平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）①由已知中等腰△ABC的底边BC=3，顶角为120°，BD=1，我们易根据勾股定理得到AC⊥AD，再由平面ADC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质，即可得到AC⊥平面ABD；②根据①的结论，计算出三棱锥C-ABD的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（II）在作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，连接CE，作AH⊥CE于点H，则∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角，解三角形ACH即可得到AC与平面BCD所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC=

3

．
在△ABD中，由BD=1，得AD=

1+3-2•1• 3 •cos30°

=1，（3分）
在△ACD中，∵AC²+AD²=4=CD²，∴AC⊥AD．
平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）
②∵AC⊥平面ABD，∴V_C-ABD=

1

3

•S△ABD•AC=

1

3

•(

1

2

3

•1•sin30°)•

3

=

1

4

．（8分）
（Ⅱ）由BD=1，得CD=2，
在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=

3

2

．
在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∵AH?平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角．（11分）
在Rt△ACE中，得CE=

15

2

，AH=

AC•AE

CE

=

15

5

，
∴sin∠ACH═

5

5

，即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为

5

5

．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，（I）的关键是根据面面垂直的性质得到线面垂直，（2）的关键是找出直线与平面夹角的平面角．