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    已知函数的图象过坐标原点O,且在点 处的切线的斜率是5.

    （1）求实数的值；

    （2）求在区间上的最大值；

     

    【答案】

    解：（1）当时，

    ∴  ………  2分

    依题意  ∴    ∴   ………  3分

     又有

    ∴，   ………  4分

    （2）当时，

    ，令有，∴，。………   5分

    当x变化时，与的变化情况如下表：

    -1

    （-1，0）

    0

    （0，）

    （，1）

    1

     

    —

    0

    +

    0

    —

     

    2

    ↘

     

    ↗

     

    ↘

     

     ；；；。

    ∴当时，最大值为2。………   8分

    当时，

    若，则是减函数，此时；若时，，此时；……   10分

    当时，是增函数，。………   11分

    ∵当时，有   

    当时，有     ………   12分

    ∴

    【解析】略

     

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    已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
    （1）试确定实数b，c的值，并求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
    （2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三5月高考冲刺理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省高三12月月考文科数学 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    已知函数的图象过坐标原点O, 且在点处的切线的斜率是.（1）求实数的值；  （2）求在区间上的最大值

     

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