Question

（2012•泸州模拟）已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4，5}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））△ABC的外接圆圆心为O₁，且

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，则满足条件的函数f（x）有（　　）

A．15个

B．20个

C．25个

D．30个

Answer 1

分析：本题从

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用．

解答：解：△ABC的外接圆圆心为O₁，
∴|

O1A

|=|

O1C

|，则以

O1A

，

O1C

为邻边作平行四边形O₁ADC，则四边形O₁ADC为菱形，
由向量加法的平行四边形法则可得，

O1A

+

O1C

=

O1D

=2

O1M

（设M为AC的中点）
又∵

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，
∴λ

BO1

=2

O1M

∴B，O₁，M共线，从而可得△ABC是等腰三角形，且BA=BC，
必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）
当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，5四种情况．
f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4、5，有四种．
f（1）=f（3）=3；f（2）=1、2、4、5，有四种．
f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1、5，有四种．
f（1）=f（3）=5；（2）=1，2，3，5，有四种情况
满足条件的函数f（x）有20种．
故选B

点评：本题主要考查了向量的共线定理的应用，三角形的转化，函数的定义；△ABC是等腰三角形，且BA=BC⇒f（1）=f（3），这是解题的关键．