Question

10．已知函数f（x）定义在区间（-1，1）内，对于任意的x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）若f（-$\frac{1}{2}$）=1，求方程f（x）+$\frac{1}{2}$=0的解．

Answer 1

分析 （1）分别令x=y=0，求得f（0）=0，令y=-x，结合奇偶性定义即可判断；再由单调性的定义，即可得到f（x）在区间（-1，1）内是减函数；
（2）运用奇函数的定义，可令y=x，结合单调性，可得方程$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可得到方程的解．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x，则f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
-1＜x₁＜x₂＜1，可得-1＜x₁x₂＜1，则$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，则f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．则f（x）在区间（-1，1）内是减函数．------------（6分）
（2）f（x）为奇函数，则f（$\frac{1}{2}$）=-1，
又2f（x）=f（x）+f（x）=f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$），且f（x）+$\frac{1}{2}$=0，
即2f（x）+1=0，2f（x）=-1．则f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=f（$\frac{1}{2}$）．
f（x）在区间（-1，1）内是单调函数，
可得$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
即x=2-$\sqrt{3}$或x=2+$\sqrt{3}$（舍）．
故方程的解为2-$\sqrt{3}$．------------（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，注意运用定义法，考查推理和运算能力，属于中档题．