Question

（本小题满分12分）
已知函数，
（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值点；
（Ⅱ）若函数有极值点，记过点与原点的直线斜率为。是否存在使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；
（2）不存在使过点与原点的直线斜率。

试题分析：（1）因为                 (1分)
所以， 恒成立。因此 （3分）
在
因此 （5分）
（2）由（1）可知，在存在极小值.
∴,由条件
∴               (7分)
（注：此处也可以用换元法，转证t-lnt=0（t=a/3）无解。采分相同）
设（）                   (8分)
时，且当时，递减；
当时，递增；              (10分)
在处取得最小值，；无零点.
即无解，
所以不存在使过点与原点的直线斜率     （12分）
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）通过研究函数的极值情况，确定得到含a的方程，通过研究方程解的有无，明确a的存在性。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。