Question

设命题P：对任意实数，不等式x²-2x＞m恒成立；命题：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q””为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）若方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦点在x轴上的双曲线，
则

m-3＞0 5-m＜0

?m＞5
即命题q为真命题时，实数m的取值范围是（5，+∞）（5分）
（2）若命题p真，即对任意实数，不等式x²-2x-m＞0恒成立．
∴△=4+4m＜0，可得m＜-1
p∨q为真命题，p∧q为假命题，说明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，
①如果“p真q假”成立，则有

m＜-1 m≤5

?m＜-1（9分）
②如果“p假q真”成立，则有

m≥-1 m＞5

?m＞5（12分）
所以实数的取值范围为m＜-1或m＞5（13分）