Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．
（1）求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：利用乘法原理可求出基本事件的总数．（1）利用一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件即可得出所包括基本事件的个数；
（2）利用二次函数的单调性即可得出所包括的基本事件的个数．

解答：解：（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情况．
（1）满足△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况．
∴函数y=f（x）有零点的概率P=

6

15

=

2

5

．
（2）二次函数f（x）=ax²-bx+1的对称轴x=

b

2a

，
∵函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴

b

2a

≤1，
有（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，30，（2，4），（3，-1），（3，-1），（3，2），
（3，3），（3，4），共13种情况．
∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=

13

15

．

点评：爽了掌握乘法原理、一元二次方程有实数根（函数有零点）的充要条件、二次函数的单调性、古典概型的计算公式是解题的关键．