【题目】设函数(
是自然对数的底数,
).
(1)求的最值;
(2)讨论方程的根的个数.
【答案】(1)最大值为,无最小值(2)答案不唯一,具体见解析
【解析】
(1)由题意有,求出函数
的单调区间,根据单调区间可得出函数的最值.
(2)当时,则
,当
时,则
,讨论出函数的单调性,
在
上单调递增, 在
上单调递减, 当
时,
,根据函数的最值的符号情况分析其零点个数.
(1),由
,解得
,
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增,
所以函数的单调递增区间是
,单调递减区间是
,
所以的最大值为
,无最小值.
(2)令,
,
(1)当时,
,则
,
所以,.
因为,
,所以
,因此
在
上单调递增.
(2)当时,
,则
,
所以,,因为
,
,又
,
所以,所以
,因此
在
上单调递减.
综合(1)(2)可知,当时,
,
当,即
时,
没有零点,
故关于的方程
根的个数为0;
当,即
时,
只有一个零点,
故关于的方程
根的个数为1;
当,即
时,
①当时,由(1)知
,
要使,只需使
,即
;
②当时,由(1)知
;
要使,只需使
,即
;所以当
时,
有两个零点,
故关于的方程
根的个数为2;
当时,关于
的方程
根的个数为0;
当时,关于
的方程
根的个数为1;
当时,关于
的方程
根的个数为2.
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【题目】求在图所示的的方格中“圈”的个数.在这里,一条封闭的折线叫做圈,如果这条折线的边均由方格的边组成,且折线经过的任意一个方格顶点都只与折线的两条边相连.
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【题目】已知圆,点
,
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线交
于点
,当点
在圆上运动时,点
的轨迹为曲线
.
1
求曲线
的方程;
2
若直线
与曲线
相交于
两点,
为坐标原点,求
面积的最大值.
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【题目】如图,已知四棱锥的底面是边长为
的菱形,
,点E是棱BC的中点,
,点P在平面ABCD的射影为O,F为棱PA上一点.
1
求证:平面
平面BCF;
2
若
平面PDE,
,求四棱锥
的体积.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与直线
平行,且过坐标原点,圆
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和圆
的极坐标方程;
(2)设直线和圆
相交于点
、
两点,求
的周长.
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【题目】太极图被称为“中华第一图”,闪烁着中华文明进程的光辉,它是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,设圆O:,则下列说法中正确的是( )
A.函数是圆O的一个太极函数
B.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C.函数是圆O的一个太极函数
D.函数的图象关于原点对称是
为圆O的太极函数的充要条件
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率为
,左、右顶点分别为
、
,线段
的长为4.点
在椭圆
上且位于第一象限,过点
,
分别作
,
,直线
,
交于点
.
(1)若点的横坐标为-1,求点
的坐标;
(2)直线与椭圆
的另一交点为
,且
,求
的取值范围.
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