Question

设f（x）=xlnx；对任意实数t，记g_t（x）=（1+t）x-e^t．
（1）判断f（x），g_t（x）的奇偶性；
（2）（理科做）求函数y=f（x）-g₂（x）的单调区间；
  （文科做）求函数y=log_0.1（g₂（x））的单调区间；
（3）（理科做）证明：f（x）≥g_t（x）对任意实数t恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求出两个函数的定义域，由于f（x）的定义域不关于原点对称得到f（x）为非奇非偶函数，g_t（x）的定义域关于原点对称，再判断g_t（-x）与g_t（x）的关系，利用奇偶性的定义加以判断．
（2）（理）求出函数的定义域，再求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围写出区间即得到递增区间；令导函数小于0得到x的范围写出区间为递减区间．
（文）通过对参数t的讨论，求出函数的定义域，同时判断出一次函数g_t（x）的单调性，然后利用复合函数的单调性判断出函数y=log_0.1（g₂（x））的单调性．
（3）构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，得到要证的不等式．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为{x|x＞0}不关于原点对称，
∴f（x）为非奇非偶函数，
而g_t（x）的定义域为R，
且g_t（-x）=（1+t）（-x）-e^x≠±g_t（x）
∴g_t（x）也为非奇非偶函数
（2）（理科）函数y=f（x）-g₂（x）=xlnx-3x+e²的定义域为（0，+∞），
y'=lnx-2．
由y'＞0得x＜e²由y'＜0得0＜x＜e²
故=f（x）-g₂（x）的单调递增区间为（e²，+∞）；单调递减区间为（0，e²）
（文科）当t＞-1时，函数y=log_0.1（g₂（x））的定义域为(

et

1+t

，+∞)
∵g_t（x）=（1+t）x-e^t此时递增
∴函数y=log_0.1（g₂（x））在(

et

1+t

，+∞)递减
当t＜-1时，函数y=log_0.1（g₂（x））的定义域为(-∞，

et

1+t

)
∵g_t（x）=（1+t）x-e^t此时递减
∴函数y=log_0.1（g₂（x））在(-∞，

et

1+t

)递增
（3）令h（x）=f（x）-g_t（x）=xlnx-（1+t）x+e^t
则h'（x）=lnx-t．由h'（x）=0，得x=e^t，当x＞e^t时，h′（x）＞0
当0＜x＜e^t时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e^t）上单调递减，在（e^t，+∞）上单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上有唯一极小值h（e^t），也是它的最小值，
而h（x）在（0，+∞）上的最小值h（e^t）=0
∴h（x）≥0，即f（x）≥g_t（x）

点评：求函数的单调区间，一般利用导数，令导函数大于0求出的x的范围写出区间为递增区间；令导函数小于0求出x的范围写出区间为递减区间；有时判断函数的单调性利用复合函数的法则：同增异减的原则．