Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.

（1）证明：取中点，连结，，，

因为底面为菱形，，所以 ．

因为为的中点，所以．

在△中，， 为的中点，所以．

设,则，，

因为，所以．

在△中，，为的中点，所以．

在△ 和△ 中，因为，，，

所以△ △ ．

所以．所以．

因为，平面，平面，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）因为，，，平面，平面，

所以平面．所以．

由（1）得，，所以，，所在的直线两两互相垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则 令，则，，所以．

设平面的法向量为，

则 令，则，，所以．

设二面角为，由于为锐角，

所以 ．

所以二面角的余弦值为．