Question

【题目】已知函数 (其中， ).

(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(3)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）最大值是 ，最小值是0；（3）证明见解析 .

【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由题意可知：当时， 恒成立，解出的取值范围即可；（2）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；（3）利用（2）的结论，只要令，利用放缩法证明即可.

试题解析：(1) ，

函数在上为增函数， 对任意恒成立. 对任意恒成立，即对任意恒成立. 时， ， 所求正实数的取值范围是.

(2)当时， ， 当时， ，故在上单调递减； 当时， ，故在上单调递增；

在上有唯一的极小值点，也是最小值点，

又因为， ，

，

所以在上有的最大值是

综上所述， 在上有的最大值是，最小值是0

(3)当时， ， ，故在上是增函数.

当时，令，则当时，

所以，即

所以

对于任意大于1的正整数，都有.