已知A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上一点.B为点A关于原点的对称点.F为椭圆的左焦点.且AF⊥BF.若∠ABF∈[$\frac{π}{12}$.$\frac{π}{4}$].则该椭圆离心率的取值范围为( )A．[0.$\frac{\sqrt{2}}{2}$]B．[$\frac{\sqrt{2}}{2}$.1)C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，B为点A关于原点的对称点，F为椭圆的左焦点，且AF⊥BF，若∠ABF∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）

A．

[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

B．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

C．

[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

D．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

分析设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出$\frac{c}{a}$即离心率e，进而根据∠ABF的范围确定e的范围．

解答解：∵B和A关于原点对称，∴B在椭圆上，
设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a．
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，
设∠ABF=α，则|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα …②
把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{sinα+cosα}$，即e=$\frac{1}{sinα+cosα}=\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵∴∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{4}$]，∴$\frac{π}{3}≤$$α+\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e≤\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评本题主要考查了椭圆的性质，关键是椭圆定义的应用，是中档题．

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（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，且$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，求直线BF₂的方程．

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B．

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C．

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D．

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（注：S${\;}_{△MP{F}_{1}}$、S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$、S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$分别为△MPF₁、△MPF₂、△MF₁F₂的面积）

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