Question

设f^-1（x）是函数f(x)=ln(x+

x2+1

)的反函数，则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围为

(ln(

2

+1)，+∞)

．

Answer 1

分析：根据函数f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函数，从而得出f^-1（x）也是在R上是增函数，设f^-1（a）=1，将不等式f^-1（x）＞1，转化成f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），再利用反函数的单调求解即得．

解答：解：∵函数f(x)=ln(x+

x2+1

)在R上是增函数，
∴f^-1（x）也是在R上是增函数，
设f^-1（a）=1，则f（1）=a，∴a=ln（

2

+1），
则f^-1（x）＞1，即f^-1（x）＞f^-1（

2

+1），
∴x＞ln（

2

+1．
则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围为 (ln(

2

+1)，+∞)
故答案为：(ln(

2

+1)，+∞)．

点评：本题主要考查反函数的知识点，求反函数的方法是：根据原函数的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函数的反函数，原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域．但本题没有去求反函数，而是利用了反函数的单调性，显得简洁．