【题目】已知函数.
(1)证明函数在上是减函数,上是增函数;
(2)若方程有且只有一个实数根,判断函数的奇偶性;
(3)在(2)的条件下探求方程的根的个数.
【答案】(1)证明详见解析;(2)为偶函数;(3)时只有一解,时有两解.
【解析】
试题分析:(1)函数,利用函数单调性定义进行证明,设的上任意两个不等的实数,且,则,
,由于,所以,则,所以函数在区间上单调递减,同理可证在区间单调递增;(2)方程等价于方程有且只有一个实数根,则,因为,所以,则此时函数,,易证明函数为奇函数;(3)在(2)的条件下,即,根据第(2)证明所得的单调性可知,当 即时只有一解 ,当 即时有两解.
试题解析:(1)由题意: 任取且使
则
在上是减函数
同理可证 在 上是增函数
(2)由题意知方程有且只有一个实数根
又
此时,
又的定义域为关于原点对称,
且,
是奇函数
(3)由(2)知可化为
又由(1)(2)知:
当 即时只有一解
当 即时有两解
综上,当时只有一解;
当时有两解;
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【题目】已知椭圆的一个焦点为,且该椭圆过定点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点,过点作直线与椭圆交于两点,且,以为邻边作平行四边形,求对角线长度的最小值.
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【题目】某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(万元) | 3 | 3.5 | 4 | 5 | 5.5 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 50 |
(1)从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于5万的人数记为,求的分布列和期望;
(2)已知员工年薪收入与工作所限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪如下表:
工作年限 | 1 | 2 | 3 | 4 |
年薪(万元) | 3.0 | 4.2 | 5.6 | 7.2 |
预测该员工第五年的年薪为多少?
附:线性回归方程中系数计算公式和参考数据分别为:
,,其中为样本均值,,,()
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【题目】某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编为1~50号,并进行分组,第一组1~5号,第二组6~10号,…,第十组46~50号.若在第三组中抽得号码为12的学生,则在第九组中抽得号码为_____的学生.
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【题目】设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范围.
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【题目】若函数满足:,则称为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”,并说明理由;
(2)若为“函数”且,
(ⅰ)求证:的零点在上;
(ii)求证:对任意,存在,使在上恒成立.
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【题目】直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,且OA⊥OB,则直线l过定点( )
A. (1,0) B. (2,0) C. (3,0) D. (4,0)
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