Question

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则n的值为：    ，由所有的值组成的集合为    ．

Answer 1

【答案】分析：设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的n和所有的值组成的集合．
解答：解：设数列{a_n}的公差为d，
则各项分别为：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假设去掉第一项，则有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合题意；
去掉第二项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，
化简得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，
解得d=-，
因为数列的各项不为零，
所以数列不会出现第五项（a₁+4d=0），
所以数对 =（4，-4）；
去掉第三项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
化简得：d²-a₁d=0，
即d（d-a₁）=0，
解得d=a₁，
则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，
因为出现第五项，数列不为等比数列，
所以数对 =（4，1）；
去掉第四项时，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，
化简得：d=0，不合题意；
当去掉第五项或更远的项时，
必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，
即d=0，不合题意．
所以满足题意的数对有两个，
组成的集合为{（4，-4），（4，1）}．
故答案为：4，{-4，1}．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件，要注意分类讨论思想的应用．