如图,三棱锥中,底面于,,,点是的中点.
(1)求证:侧面平面;
(2)若异面直线与所成的角为,且,
求二面角的大小.
(1)对于线面垂直的证明,主要是利用判定定理,然后结合这个条件来得到面面垂直的证明。
(2)
【解析】
试题分析:解:(1)∵底面,平面,
∴ 平面平面, 又∵,
平面平面, ∴ 平面 3分
而 平面 ∴侧面平面. 5分
(2)取的中点,则是的中位线
故,所以就是异面直线与所成的角, 7分
设,则在中,,
在中,,∴ ,
而,∴ ,即. 9分
过作于点,连. ∵ ,底面
∴ 底面,从而,又∵,
∴平面,从而,
所以就是二面角的平面角. 11分
由,得 , 由∽,
可得,即 解得,
在中,,所以,
故二面角的大小为. 14分
解法2:如图,以为原点,以分别为轴建立直角坐标系.
设,则,,,
,从而.
∴,, 7分
∵异面直线与所成的角为,且,
∴,
又,
从而,解得... 9分
∴,,,
设平面的法向量为,则由
得 , 令,得. 11分
又平面的法向量为, 12分
∴,∴ ,
所以二面角的大小为. 14分
考点:面面垂直,二面角
点评:主要是考查了空间几何体中垂直的证明以及异面直线的角和二面角的平面角的借助于向量来求解,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:
如图:三棱锥中,^底面,若底面是边长为2的正三角形,且与底面所成的角为.若是的中点,求:
(1)三棱锥的体积;
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(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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科目:高中数学 来源:2014届浙江省温州八校高三9月期初联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,三棱锥中,底面,,,为的中点,点在上,且.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市青浦区高三上学期期终学习质量调研测试数学试卷 题型:解答题
(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
如图:三棱锥中,^底面,若底面是边长为2的正三角形,且
与底面所成的角为,若是的中点,
求:(1)三棱锥的体积;
(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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