Question

设函数f（x）=x²-|x²-ax-9|（a为实数），在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．

Answer 1

（0，12）
分析：令函数g（x）=x²-ax-9，则g（x）一定有两个零点，设为 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．根据f（x）的解析式以及f（x）在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，可得a＞0．再由y=2x²-ax-9的对称轴为 x=，且-3＜＜3，可得a的取值范围．
解答：令函数g（x）=x²-ax-9，由于g（x）的判别式△=a²+36＞0，故函数g（x）一定有两个零点，
设为 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．
∵函数f（x）=x²-|x²-ax-9|=，故当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，
函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，
当x∈（x₁，x₂ ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x²-ax-9 下凹的一部分，且各段连在一起．
由于f（x）在区间（-∞，-3）和（3，+∞）上单调递增，∴a＞0．
再由y=2x²-ax-9的对称轴为 x=，且-3＜＜3，可得-12＜a＜12．
综上可得，0＜a＜12，故实a的取值范围为 （0，12），
故答案为 （0，12）．
点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．