Question

13．函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，f′（1）=1，f′（x）＜$\frac{1}{2}$，f（x²）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．

• A． （-∞．-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 根据条件构造F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，利用导数研究函数的单调性，然后将不等式进行转化，根据单调性建立关系，解之即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
则F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=1，∴F（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=1-1=0，
∴f（x）-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$＜0等价为F（x）＜0=F（1），
即x＞1，
则不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的解为x＞1，
由f（x²）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．
可得x²＞1，解得x＞1或x＜-1，
故不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故选：C．

点评 本题考查不等式的求解，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．同时考查了转化思想，属于中档题．