【题目】已知函数.
(1)当时,设.讨论函数的单调性;
(2)证明当.
【答案】(1)当时,在上是增函数;
当时,在上是减函数,在上是增函数.
(2)见解析.
【解析】
试题(1)求导数,研究导函数值的正负,确定单调区间.
由于,当时,.
所以,讨论当,即时,当,即时,即得结论;
(2)构造函数,由于导数,通过确定函数的单调性及最值,达到解题目的.
由于,
所以令,再次利用导数加以研究,
当时, 在上是减函数,
当时, 在上是增函数,
又
得到当时,恒有,即,
在上为减函数,由,得证.
(1),所以. 2分
当时,,故有:
当,即时,,;
当,即时,,
令,得;令,得, 5分
综上,当时,在上是增函数;
当时,在上是减函数,在上是增函数. 6分
(2)设,则,
令,则, 8分
因为,所以当时,;在上是减函数,
当时,,在上是增函数,
又所以当时,恒有,即,
所以在上为减函数,所以,
即当时,. 13分
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【题目】某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①:规定每日底薪50元,快递业务每完成一单提成3元;方案②:规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为,,,,,,七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案①,丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人,求至少有1名骑手选择方案①的概率;
(3)若从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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【题目】已知函数,给出下列关于的性质:
①是周期函数,3是它的一个周期;
②是偶函数;
③方程有有理根;
④方程与方程的解集相同;
⑤是周期函数,是它的一个周期.
其中正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】已知函数,其中,.
(1)当时,解不等式;
(2)若函数在区间内恰有一个零点,求的取值范围;
(3)设,当函数的定义域为时,值域为,求a,b的值.
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【题目】江夏一中将要举行校园歌手大赛,现有3男3女参加,需要安排他们的出场顺序.(结果用数字作答)
(1)如果3个女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序?
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序?
(3)如果3位男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序?
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试,求:第组至少有一名学生被考官面试的概率.
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