分析 (1)以O为原点,OG为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出点P到平面EFG的距离.
(2)求出平面PAB的法向量和平面EFG的法向量,由此能求出平面EFG与平面PAB夹角的余弦值.
解答 解:(1)∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,
且平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PA、PB、BC的中点,
∴过P作PO⊥平面ABCD,交AD于O,
以O为原点,OG为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
P(0,0,2$\sqrt{3}$),A(0,-2,0),B(4,-2,0),
E(0,-1,$\sqrt{3}$),F(2,-1,$\sqrt{3}$),G(4,0,0),
$\overrightarrow{GP}$=(-4,0,2$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{GE}$=(-4,-1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{GF}$=(-2,-1,$\sqrt{3}$),
设平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{n}=-4x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}=-2x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(0,3,$\sqrt{3}$),
∴点P到平面EFG的距离:
d=$\frac{|\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|6|}{\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$.
(2)$\overrightarrow{AB}$=(4,0,0),$\overrightarrow{AP}$=(0,2,2$\sqrt{3}$),
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=4a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=2b+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$,取B=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=(0,$\sqrt{3}$,-1),
设平面EFG与平面PAB夹角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{2}$.
∴平面EFG与平面PAB夹角的余弦值为$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查点到平面的距离的求法,考查面面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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