Question

对于实数x∈[0，π]，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，则方程的解集是    ；又方程[2sinx]=[x]的解集是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由新定义可得：=1，于是方程可化为[2sinx]=1，进而得出2sinx 的取值范围，再结合已知条件x∈[0，π]，求出即可．
（2）对实数x∈[0，π]，进行恰当分类讨论即可．
解答：解：（1）∵=1，∴[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，
∴，又实数x∈[0，π]，解得，
∴方程的解集是．
故答案为．
（2）对实数x∈[0，π]，进行以下分类：
①当0≤x＜1时，[x]=0，[2sinx]=0，∴0≤2sinx＜1，∴，及0≤x＜1，解得；
②当1≤x＜2时，[x]=1，[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，∴，及1≤x＜2，解得，或；
③当x=2时，2sinx＜2，[2]=2，∴2不是方程[2sinx]=[x]的解；
④当2＜x≤π时，2sinx＜2=2，[x]≥2，此时方程[2sinx]=[x]无解．
综上可知：方程[2sinx]=[x]的解集是．
故答案为．
点评：理解新定义和对x正确分类讨论是解题的关键．