Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为

2

27

．

Answer 1

分析：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，结合x＞0，y＞0可得

y＞0 1-2y＞0

，而x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)，利用基本不等式可求函数的最大值
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得

y＞0 1-2y＞0

，而x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y，构造函数f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），利用导数判断函数的单调性，进而可求函数的最大值

解答：解：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

∴x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)≤

1

4

•(

1-2y+1-2y+4y

3

)3
=

1

4

×

8

27

=

2

27

当且仅当1-2y=4y即y=

1

6

，x=

2

3

时取等号
则x²y的最大值为

2

27

故答案为

2

27

法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

令f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），则f′（y）=12y²-8y+1
∵0＜y＜

1

2

令f′（y）＜0恒可得

1

6

＜y＜

1

2

令f′（y）≥0可得0＜y≤

1

6

∴函数f（y）=4y³-4y²+y在（

1

6

，

1

2

）单调递减，在（0，

1

6

]上单调递增
∴当y=

1

6

时取得最大值

2

27

故答案为

2

27

点评：本题主要考查了函数的最大值的求解，法一中主要利用了基本不等式abc≤(

a+b+c

3

)3，法二是解答一般函数求解最值的常用方法