Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，P是BC的中点，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，且侧棱AA₁与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）证明：直线A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）连接A₁B交AB₁于Q，则Q为A₁B中点，连接PQ，证出PQ∥A₁C后即可证出直线A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）取A₁C₁中点M，连B₁M、AM，则B₁M⊥A₁C₁，B₁M⊥平面ACC₁A₁．∠B₁AM为直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角． 再得出∠A₁AC为AA₁与平面ABC所成的角，即∠A₁AC=60°，在Rt△B₁MA中求解即可．
解答：（Ⅰ）解：连接A₁B交AB₁于Q，
则Q为A₁B中点，连接PQ，
∵P是BC的中点，∴PQ∥A₁C．…（4分）
∵PQ?平面AB₁P，A₁C?平面AB₁P，
∴A₁C∥平面AB₁P．     …（6分）
（Ⅱ）取A₁C₁中点M，连B₁M、AM，
则B₁M⊥A₁C₁．
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁B₁C₁．
∴B₁M⊥平面ACC₁A₁．
∴∠B₁AM为直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角．                   …（9分）
在正△A₁B₁C₁中，边长为2，M是A₁C₁中点，∴．  …（10分）
∵面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴∠A₁AC为AA₁与平面ABC所成的角，即∠A₁AC=60°．               …（11分）
在菱形ACC₁A₁中，边长为2，∠A₁AC=60°，M是A₁C₁中点，
∴AM²=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，∴．…（12分）
在Rt△B₁MA中，，，从而．
∴．
∴直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值为．                 …（14分）
点评：本题考查空间直线和平面平行关系的判定，线面角的定义及求解．考查空间想象能力、推理论证能力，计算能力．