【题目】在如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,底面ABFE为直角梯形,∠ABF为直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.
(1)求证:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵底面ABFE为直角梯形,AE∥BF,∠EAB=90°,
∴AE⊥AB,BF⊥AB,
∵平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,
∴AE⊥平面ABCD.BF⊥平面ABCD,∴BF⊥BC,
设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴建立如图坐标系,
则B(0,0,0),C(0,0,1),D(1,0,1),E(1,t,0)
∵ =0,∴DB⊥EC
(2)解:由(1)知 是平面BEF的一个法向量,
设 =(x,y,z)是平面CEF的一个法向量,
AE=AB=1,E(1,1,0),F(0,2,0),
∴ =(1,1,﹣1), =(0,2,﹣1),
则 ,取z=2, =(1,1,2),
∴cos< >= = ,
即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)推导出AE⊥AB,BF⊥AB,从而BF⊥BC,设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴坐标系,利用向量法能证明DB⊥EC.(2)求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量,利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
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【题目】已知圆,直线
(1)求证:直线过定点;
(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值;
(3)已知点,在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.
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【题目】给出30个数:1,2,4,7,,其规律是:第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,以此类推,要计算这30个数的和,现已给出了解决该问题的算法框图(如图所示).
(1)请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能;
(2)根据算法框图写出算法语句.
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【题目】已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设数列{bn}满足 bn=,是否存在正整数,使得b1,bm,bn成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.
(3) 令,记数列{cn}的前项和为,其中,证明:.
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【题目】某种汽车购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费、汽油费共0.9万元,汽车的维修保养费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……依等差数列逐年递增.
(1)求该车使用了3年的总费用(包括购车费用)为多少万元?
(2)设该车使用年的总费用(包括购车费用)为),试写出的表达式;
(3)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
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