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【题目】在如图所示的多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,底面ABFE为直角梯形,∠ABF为直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.

(1)求证:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵底面ABFE为直角梯形,AE∥BF,∠EAB=90°,

∴AE⊥AB,BF⊥AB,

∵平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,

∴AE⊥平面ABCD.BF⊥平面ABCD,∴BF⊥BC,

设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴建立如图坐标系,

则B(0,0,0),C(0,0,1),D(1,0,1),E(1,t,0)

=0,∴DB⊥EC


(2)解:由(1)知 是平面BEF的一个法向量,

=(x,y,z)是平面CEF的一个法向量,

AE=AB=1,E(1,1,0),F(0,2,0),

=(1,1,﹣1), =(0,2,﹣1),

,取z=2, =(1,1,2),

∴cos< >= =

即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为


【解析】(1)推导出AE⊥AB,BF⊥AB,从而BF⊥BC,设AE=t,以BA,BF,BC所在的直线分别为x,y,z轴坐标系,利用向量法能证明DB⊥EC.(2)求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量,利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值.

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