Question

如图，多面体ABCD-EFC中，底面ABCD为正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图如下，
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面BDG；
（Ⅱ）若存在λ＞0，使，KF与平面ABG所成角为30°，求λ的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接AC，BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又GD⊥面ABCD，
又AC面ABCD，
则AC⊥GD，
又AC⊥BD，GD∩BD=D，
则AC⊥面BDG，
又AC面AEFC，
故面AEFC⊥面BDG；
（Ⅱ）由三视图知四边形DCFG为平行四边形FG∥CD且FG=CD，
在正方形ABCD中，AB∥CD且AB=CD
FG∥AB且FG=ABA，B，G，F共面平面ABG，
即平面ABFGKF∩平面ABG=F，
作KO⊥AG于O，连接FO，
AB⊥平面AEGD，
又AE∥GDAE，GD共面于AEGD，
KO平面AEGDKO⊥平面ABG
FO为KF在平面ABC的射影∠KFO为KF与平面ABG所成角，
由已知可得∠KFO=30°，AE=1，
∴AK=λ，
由三视图知AD=DG=2，
∴∠DAG=45°，
∴，∴，
∴Rt△FGO中，，
，
∴λ=2或λ=-6（舍）。