Question

(本小题满分12分) (Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问5分.)

已知O为坐标原点，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1.

(1)记函数f(α)＝·，α∈，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；

(2)若O、P、C三点共线，求|＋|的值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：依题意可知，A(sinα，1)，B(cosα，0)，C(－sinα，2)，设点P的坐标为(x，y)，则cosα＝，0＝，所以x＝2cosα－sinα，y＝－1，所以点P的坐标为(2cosα－sinα，－1)．

(1)∵＝(sinα－cosα，1)，＝(2sinα，－1)，

∴f(α)＝·＝2sin²α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－sin.

由2α＋∈可知，当2α＋∈即α∈时，函数f(α)单调递增，当2α＋∈即α∈时，函数f(α)单调递减，又sin∈，所以函数f(α)的值域为[－，1)．

(2)由O、P、C三点共线可知，－1×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，∴tanα＝，

∴sin2α＝＝＝，∴|＋|＝＝＝.

 

【解析】略