Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．
（I）我们易求出

AP

，

BC

的坐标，要证明AP⊥BC，即证明

AP

•

BC

=0；
（II）要求满足条件使得二面角A-MC-β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．

解答：解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）则

AP

=（0，3，4），

BC

=（-8，0，0）
由此可得

AP

•

BC

=0
∴

AP

⊥

BC

即AP⊥BC
（II）设

PM

=λ

PA

，λ≠1，则

PM

=λ（0，-3，-4）

BM

=

BP

+

PM

=

BP

+λ

PA

=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）

AC

=（-4，5，0），

BC

=（-8，0，0）
设平面BMC的法向量

a

=（a，b，c）
则

BM • a =0 BC • a =0

-4a-(2+3λ)b+(4-4λ)c=0 -8a=0

令b=1，则

a

=（0，1，

2+3λ

4-4λ

）
平面APC的法向量

b

=（x，y，z）
则

AP • b =0 AC • b =0

即

3y+4z=0 -4x+5y=0

令x=5
则

b

=（5，4，-3）
由

a

•

b

=0
得4-3•

2+3λ

4-4λ

=0
解得λ=

2

5

故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3

点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．