Question

20．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是$\frac{4}{5}$，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选；
（Ⅰ） 求甲恰有2个题目答对的概率；
（Ⅱ） 求乙答对的题目数X的分布列；
（Ⅲ） 试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲答对题目数Y～B（4，$\frac{4}{5}$），由此能求出甲恰有2个题目答对的概率．
（Ⅱ）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．
（Ⅲ）由Xr分布列求出乙平均答对的题目数EX，由甲答对题目数Y～B（4，$\frac{4}{5}$），求出甲平均答对的题目数EY，从而得到甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．

解答 解：（Ⅰ）∵甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是$\frac{4}{5}$，
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=${C}_{4}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{96}{625}$．
（Ⅱ）由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{28}{210}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{112}{210}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{70}{210}$=$\frac{1}{3}$，
∴X的分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

（Ⅲ）∵乙平均答对的题目数EX=$2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{3}$=$\frac{18}{5}$，
甲答对题目数Y～B（4，$\frac{4}{5}$），
甲平均答对的题目数EY=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$．
∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．