Question

7．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）设点P在直线l上的射影为点M，点N的坐标为（2，1），求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件根据m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，可得定点的坐标．
（2）由题意可得点M在以线段PQ为直径的圆上，其圆心为点C（0，-1），半径为$\sqrt{2}$，求出|CN|的值，可得|MN|的范围．

解答 解：（1）由2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，得 2x+y+m（y+2）=0，
所以直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0交点Q（1，-2）．
（Ⅱ）因为直线l绕着点Q（1，-2）旋转，
所以点M在以线段PQ为直径的圆上，
圆心为点C（0，-1），半径为$\sqrt{2}$，
因为N的坐标为（2，1），
以|CN|=2$\sqrt{2}$，
而 $\sqrt{2}$≤|MN|≤3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，属于中档题．