Question

16．已知函数f（x）=e^x（x²-ax+1）（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y-1=0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求实数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，根据切线的斜率是-3，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（2-a）x+1-a]，
而切线方程为3x+y-1=0，斜率k=-3，
∴f′（0）=1-a=-3，解得：a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）=e^x（x²-4x+1），f′（x）=e^x（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减，
∴f（x）_极小值=f（3）=-2e³，f（x）_极大值=f（-1）=$\frac{6}{e}$．

点评 不同考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．