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    （2010•崇明县二模）设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）与双曲线
    x2
    3
    -
    y2
    1
    =1    有相同的焦点F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），P为椭圆上一点，△PF1F2的最大面积等于2
    		2
    ．过点N（-3，0）且倾角为30°的直线l交椭圆于A、
    B两点．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）求证：点F1（-c，0）在以线段AB为直径的圆上；
    （3）设E、F是直线l上的不同两点，以线段EF为直径的圆过点F1（-c，0），求|EF|的最小值并求出对应的圆方程．
    分析：（1）求出双曲线
    x2
    3
    -
    y2
    1
    =1    的焦点坐标，得到椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）半焦距c=2，再根据△PF1F2的最大面积求得b值，从而可得所求椭圆方程；
    （2）通过方程组
    y=
    		3
    3
    (x+3)
    x2
    6
    +
    y2
    2
    =1
    ，求出圆心的坐标及圆的直径，得出线段AB为直径的圆方程，将点F1（-2，0）代入验证满足圆该圆方程，从而得到以线段AB为直径的圆过定点F1；
    （3）取EF的中点D为圆心，|EF|=2|DF1|利用线段DF1的最小值求得|EF|min=1．通过联解方程组
    y=
    		3
    3
    (x+3)
    		3
    (x+2)+y=0
    ，得到圆心坐标及半径大小，由此即可写出|EF|取最小值时相应的圆方程．
    解答：解：（1）∵双曲线
    x2
    3
    -
    y2
    1
    =1    的焦点F1（-2，0），F2（2，0），
    ∴椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）半焦距为：2，
    又△PF1F2的最大面积等于bc=2b=2
    		2
    ，∴b=
    		2

    从而c=2，b=
    		2
    ，a=
    		6
    ，椭圆方程为：
    x2
    6
    +
    y2
    2
    =1
    （2）∵lAB：y=
    		3
    3
    (x+3)    ，∴由
    y=
    		3
    3
    (x+3)
    x2
    6
    +
    y2
    2
    =1
    消去y，得2x2+6x+3=0
    因此，可得圆心坐标为(-
    3
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，半径r=
    |AB|
    2
    =
    		1+
    1
    3
    •
    		12
    2
    =1
    ∴圆方程为(x+
    3
    2
    )    2    +(y-
    		3
    2
    )    2    =1
    ∵点F1（-2，0）满足圆方程(x+
    3
    2
    )    2    +(y-
    		3
    2
    )    2    =1    ．
    ∴以线段AB为直径的圆过定点F1
    （3）取EF的中点D为圆心，则|EF|=2|DF1|
    ∴|EF|达到最小值时，F1D恰好是点F1到直线l的距离，
    即|DF1|min=
    |-2+0+3|
    2
    =
    1
    2
    ，可得|EF|min=1；
    此时，lDF1：
    		3
    (x+2)+y=0    ，联立方程
    y=
    		3
    3
    (x+3)
    		3
    (x+2)+y=0

    得圆心为(-
    9
    4
    ，
    		3
    4
    )    ，半径为
    1
    2

    ∴|EF|取最小值时，相应的圆方程为(x+
    9
    4
    )2+(y-
    		3
    4
    )2=
    1
    4
    点评：本小题主要考查双曲线及椭圆的方程和几何性质、圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想，属于中档题．
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    1
    an
    n
    （n∈N*），那么当Vn=
    n+1
    2
    时，a2010=
    1
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    .
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    ．

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