Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求f（x）的定义域为R，然后求f（-x）和f（x）比较即可；
（2）求f′（x），根据f′（x）的符号即可证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）将原函数变成：f（x）=1-

2

2x+1

，让x分别趋向于正无穷和负无穷，判断f（x）趋向的值即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R；
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)；
所以函数f（x）为奇函数；
（2）f′（x）=

2xln2(2x+1)-2xln2(2x-1)

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

；
当x趋向正无穷时，

2

2x+1

趋向0且大于0，所以f（x）趋向1，即f（x）＜1；
当x趋向负无穷时，2^x趋向0，

2

2x+1

趋向2且小于2，所以f（x）＞-1；
所以f（x）的值域是（-1，1）．

点评：考查奇函数的定义及判断过程，通过判断函数导数符号来证明函数单调性的方法，让x趋向区间的两端来判断f（x）趋向的值从而求f（x）值域的方法．