Question

（1）若f（x）关于x=a，x=b成轴对称，则f（x）是否是周期函数？若是，T为多少？
（2）若f（x）满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是否是周期函数？若是，T为多少？

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）关于x=a，x=b成轴对称，可得f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x），f（2a-x）=
f（2b-x），即可得出．
（2）由于f（x）满足f（x+a）=f（x+b），可得f（x+b-a）=f（x-a+a）=f（x），即可判断出．

解答： 解：（1）∵f（x）关于x=a，x=b成轴对称，
∴f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x），f（2a-x）=f（2b-x），
又∵（2a-x）-（2b-x）=2a-2b，
∴f（x）是周期为|2a-2b|的周期函数．
（2）∵f（x）满足f（x+a）=f（x+b），
∴f（x+b-a）=f（x-a+a）=f（x），
∴函数f（x）是周期为|b-a|的函数．

点评：本题考查了函数对称性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．