【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为 3 的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=3,F 是棱 PA上的一个动点,E为PD的中点.
(Ⅰ)若 AF=1,求证:CE∥平面 BDF;
(Ⅱ)若 AF=2,求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:如图所示,取PF中点G,连接EG,CG.
连接AC交BD于O,连接FO.
由题可得F为AG中点,O为AC中点,
∴FO∥GC;
又G为PF中点,E为PD中点,
∴GE∥FD.
又GE∩GC=G,GE、GC面GEC,
FO∩FD=F,FO,FD面FOD.
∴面GEC∥面FOD.
∵CE面GEC,
∴CE∥面BDF;
(Ⅱ)解:∵底面ABCD是边长为 3 的菱形,
∴AC⊥BD,设交点为O,以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
则B(0,﹣ ,0),D(0, ,0),P(﹣ ,0,3),C( ,0,0),F( ,0,2).
则 , , , .
设平面BDF的一个法向量为 ,
则 ,取z=3,得 .
设平面PCD的一个法向量为 ,
则 ,取y= ,得 .
∴cos< >= = .
∴平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)取PF中点G,连接EG,CG.连接AC交BD于O,连接FO.由三角形中位线定理可得FO∥GC,GE∥FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD,进一步得到CE∥面BDF;(Ⅱ)由底面ABCD是边长为 3 的菱形,可得AC⊥BD,设交点为O,以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,求出所用点的坐标,再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行).
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【题目】某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表:
使用年数x(单位:年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
维修总费用y(单位:万元) | 0.5 | 1.2 | 2.2 | 3.3 | 4.5 |
根据上表可得y关于x的线性回归方程 = x﹣0.69,若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修,直接报废,据此模型预测该汽车最多可使用( )
A.8年
B.9年
C.10年
D.11年
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【题目】已知点E(﹣2,0),点P时圆F:(x﹣2)2+y2=36上任意一点,线段EP的垂直平分线交FP于点M,点M的轨迹记为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过F的直线交曲线C于不同的A、B两点,交y轴于点N,已知 =m , =n ,求m+n的值.
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【题目】已知函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< ),A( ,0)为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是( )
A.(2k﹣ ,2k+ ),k∈Z
B.(2kπ﹣ π,2kπ+ π),k∈Z
C.(4k﹣ ,4k+ ),k∈Z
D.(4kπ﹣ π,4kπ+ π),k∈Z
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(单位:cm),则该阳马的外接球的体积为( )
A.100πcm3
B.
C.400πcm3
D.
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【题目】已知数列{an}中,a2=2,其前n项和Sn满足: (n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知定义在R上的函数y=f(x)满足:①对于任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2);②函数y=f(x+2)是偶函数;③当x∈(0,2]时,f(x)=ex﹣ ,a=f(﹣5),b=f( ).c=f( ),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.c<a<b
D.b<a<c
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