【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 通项公式为 .
(Ⅰ)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比较f(n)与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
【答案】解:(Ⅰ)由已知 , , ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(1)>1,f(2)>1;当n≥3时,猜想:f(n)<1.
下面用数学归纳法证明:
①由(Ⅰ)当n=3时,f(n)<1;
②假设n=k(k≥3)时,f(n)<1,即 ,那么 = = = ,
所以当n=k+1时,f(n)<1也成立.由(1)和(2)知,当n≥3时,f(n)<1.
所以当n=1,和n=2时,f(n)>1;当n≥3时,f(n)<1
【解析】(1)此问根据通项公式计算出前n项的和.当n=1时,f(1)=s2;当n=2时,f(2)=s4﹣s1=a2+a3;当n=3时,f(3)=s6﹣s2 . (2)当n=1时, ≥1.当n≥2时,f(n)中没有a1 , 因此都小于1.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式).
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率e= ,右顶点、上顶点分别为A,B,直线AB被圆O:x2+y2=1截得的弦长为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M, =λ( ),若点N在圆O上,求正实数λ的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:mx2+3my2=1(m>0)的长轴长为 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程和离心率.
(2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且点P在y轴的右侧.若BA=BP,求四边形OPAB面积的最小值.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图.
记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,表示台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若,求与的函数解析式;
(2)若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于,求的最小值;
(3)假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件,或每台都购买个易损零件,分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买台机器的同时应购买个还是个易损零件?
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【题目】已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx.
(Ⅰ)将函数f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)的图象,若x∈[ , ],求函数g(x)的值域;
(Ⅱ)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)= +1,A∈(0, ),a=2 ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】如图,在边长为4的正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将沿DE,EF,DF折成正四面体,则在此正四面体中,下列说法正确的是______.
异面直线PG与DH所成的角的余弦值为;
;
与PD所成的角为;
与EF所成角为
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知P是直线上的一个动点,圆Q的方程为:设以线段PQ为直径的圆E与圆Q交于C,D两点.
证明:PC,PD均与圆Q相切;
当时,求点P的坐标;
求线段CD长度的最小值.
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