[题目]某学校科技节需要同学设计一幅矩形纸板宣传画.要求画面的面积为.画面的上.下各留空白.左.右各留空白.(1)如何设计画面的高与宽的尺寸.才能使整个宣传画所用纸张面积最小?(2)如果按照第一问这样制作整个宣传画.在科技节结束以后.这整个宣传画纸板可再次作为某实验道具.并要求从整个宣传画板的四个角各截取一个相同的小正方形.做� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】某学校科技节需要同学设计一幅矩形纸板宣传画，要求画面的面积为（如图中的阴影部分），画面的上、下各留空白，左、右各留空白.

（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使整个宣传画所用纸张面积最小？

（2）如果按照第一问这样制作整个宣传画，在科技节结束以后，这整个宣传画纸板可再次作为某实验道具，并要求从整个宣传画板的四个角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.问截下的小正方形的边长（也就是该容器的高）是多少时，该容器的容积最大？

【答案】(1)当画面高为cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为; (2) 当小正方形的边长为10cm时该容器的容积最大为18000.

【解析】

（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm) ，求出宣传画所用纸张面积S的表达式，利用将表达式转化为关于k的函数，利用基本不等式即可得解；（2）设该容器的高为x cm，求出容器体积的表达式，利用导数研究函数的单调性从而求函数最大值.

（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm)，则，

宣传画所用纸张面积为

当且仅当时取等号，此时，

所以当画面高为cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为.

（2）设该容器的高为x cm，则容器的底面长为cm，宽为cm，

该容器的体积为

，令或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

，即当小正方形的边长为10cm时该容器的容积最大为18000.

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