考点:双曲线的简单性质,椭圆的简单性质
专题:计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:由题设中的条件,设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m,双曲线的实轴长为2n,由它们有相同的焦点,得到m2-n2=2,根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2n,△PF1F2 中,由三边的关系得出其为直角三角形,由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果.
解答:
解:由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2m,双曲线的实轴长为2n,
由它们有相同的焦点,得到m
2-1=n
2+1,即m
2-n
2=2.
不妨令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF
1|-|PF
2|=2n,①
由椭圆的定义|PF
1|+|PF
2|=2m,②
①
2+②
2得|PF
1|
2+|PF
2|
2=2n
2+2m
2,
∴|PF
1|•|PF
2|=m
2-n
2=2,
∴cos∠F
1PF
2|=
=0,
∴△F
1PF
2的形状是直角三角形
△PF
1F
2的面积为
•PF
1•PF
2=
×2=1.
故选C.
点评:本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长,解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形,求出焦点三角形的边长来.