Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=0，把点P（1，

3

2

）代入，能求出椭圆C的方程．
（2）由已知条件推导出直线l的方程为：y=x-1，联立

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

，得：7x²-8x-8=0，利用椭圆弦长公式能求出|MN|．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，

3

2

），
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=0，
把点P（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，整理，得4a⁴-17a²+4=0，
解得a²=4，或a²=

1

4

（舍），
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦点F₁（-1，0），右焦点F₂（1，0），
∵过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的方程为：y=x-1，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

，消去y，并整理，得：7x²-8x-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|MN|=

(1+1)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要注意待定系数法和椭圆弦长公式的灵活运用．