Question

【题目】设函数f(x)=x +bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；
（2）求f(x)的单调区间。

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∴

∵曲线 在点 处的切线方程为

∴ ，

即 ①

②

由①②解得： ，

（2）

解：∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe2﹣x+ex，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，

f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，

由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，

∴f′（x）＞0恒成立，

即函数f（x）是增函数，

即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．

【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．