Question

已知函数f(x)=

sin2x+cos2x+1

2cosx

．
（1）求方程f（x）=0的所有解；
（2）若方程f（x）=a在x∈[0，

π

3

]范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方程可化为得f(x)=

2

sin(x+

π

4

)=0，由此求得 x=kπ-

π

4

(k∈Z)．
（2）由题意可得函数y=a与y=

2

sin(x+

π

4

)（x∈[0，

π

3

]）的图象有两个不同的交点，由函数y=

2

sin(x+

π

4

)的图象性质得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

2sinxcosx+2cos2x

2cosx

=sinx+cosx(cosx≠0)，…（4分）
由题意可得 f(x)=

2

sin(x+

π

4

)=0，故 x+

π

4

=kπ，即 x=kπ-

π

4

(k∈Z)． …（2分）
（2）当x∈[0，

π

3

]时，方程a=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)有两个不同解，
等价于函数y=a与y=

2

sin(x+

π

4

)（x∈[0，

π

3

]）的图象有两个不同的交点．
由函数y=

2

sin(x+

π

4

)的图象性质得a∈[

3 +1

2

，

2

)．…（6分）

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，直线和正弦函数图象的交点个数的判断，属于中档题．