Question

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2，
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的奇偶性；
（3）求函数h（x）在(0，

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax，g（x）=

b

x

，且a，b≠0，由f（1）=1，g（1）=2可求得a，b的值，从而可求函数f（x）和g（x）；
（2）由（1）知h（x）=x+

2

x

，利用奇偶函数的定义即可判断h（x）的奇偶性；
（3）设0＜x₁＜x₂≤

2

，作差h（x₁）-h（x₂）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，判断其符号，从而可证函数在（0，

2

]上是减函数，于是可求函数h（x）在(0，

2

]上的最小值．

解答：解：（1）∵函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，
∴设f（x）=ax，g（x）=

b

x

，且a，b≠0，
由f（1）=1，g（1）=2，
得：a=1，b=2，故f（x）=x，g（x）=

2

x

．
（2）由（1）得h（x）=x+

2

x

，
∵函数h（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
∴h（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-h（x），
∴函数h（x）是奇函数．
（3）设0＜x₁＜x₂≤

2

，
则h（x₁）-h（x₂）=（x₁+

2

x1

）-（x₂+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=（x₁-x₂）（1-

2

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤

2

，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，
∴x₁x₂-2＜0，（x₁-x₂）（x₁x₂-2）＞0，
∴h（x₁）＞h（x₂）…11分
故函数在（0，

2

]上是减函数，
∴函数h（x）在（0，

2

]上的最小值是h（

2

）=2

2

．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的证明及应用，突出考查定义法证明函数的单调性，考查推理证明及运算能力．